$g(x) = x^{3} - 3x$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેય માટે સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

(A) આપેલ વિધેય: $g(x) = x^{3} - 3x$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $g'(x) = 3x^{2} - 3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$g'(x) = 0$ લો:
$3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $g''(x) = 6x$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરો:
$x = 1$ માટે: $g''(1) = 6(1) = 6 > 0$. કારણ કે $g''(1) > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $g(1) = (1)^{3} - 3(1) = 1 - 3 = -2$ છે.
$x = -1$ માટે: $g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. કારણ કે $g''(-1) < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $g(-1) = (-1)^{3} - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ છે.